牟合方盖,球体体积的求积法

  牟合方盖就是指球体的体积同样也是指求积法，其中的一项需要必备的一些研究题目。在2200多年以前，希腊的数学家阿基米德（Archimedes）就已经发现了球体体积当中的一些主要公式。在中国则要到南北朝时代才能够正确地求出球体的体积，然而通过所使用的一些方法就称之为牟合方盖。其中《九章算术》的少广章的廿三及廿四两问中有所谓开立圆术，立圆的主要意思就是一些球体，古称丸，而开立圆术即求已知体积的球体的直径的一些主要方法。其中廿四问为：“又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”从中可知，在《九章算术》内由球体的体积求球体的直径，就是把球体的体积先乘以16再除以9，然后再把所得的数开立方根求出，换言之球体体积=(9 x 直径^3)/16根据现代的一些理解，这个公式当然是错的，但以古时而言也不失为一个简单的公式来求出近似值。

      牟合方盖通过一些与之相关的研究而得出，当然这个结果对一些数学家而言也是极之不满的，其中为《九章算术》作注的古代中国数学家刘徽便对这个公式开始有所怀疑：“以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则丸积伤多。互相通补，是以九与十六之率，偶与实相近，而丸犹伤多耳。”即是说，用π≒3来计算圆面积时，则较实际的面积要少；若按π：4的比率来计算球和外切直圆柱的体积时，则球的体积又较实际多了一些。然而它们之间是可以互相通补的，但是按照9：16的一个比率来计算球和外切立方体的体积时，则球的体积较实际的要多一些。因此，当时刘徽创造了一个相当独特的立体几何图形，从而希望用这个图形以求出球体体积的公式，称之为“牟合方盖”。

      牟合方盖就是当一个正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按合盖者，方率也。丸其中，即圆率也。”根据刘徽的一些理论，其实刘徽也是希望通过构作一个立体图形，它的每一个横切面皆是正方形，而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形，而这个图形就是牟合方盖，因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为π：4，他希望可以用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误。当然他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式，因为他知道牟合方盖的体积跟内接球体体积的比为4：3，只要有方法找出牟合方盖的体积便可，只可惜，刘徽始终不能解决，他只可以指出解决的方法是通过计算出外棋的体积，但由于外棋的形状复杂，所以没有成功，他无奈地只好留待有能之士图谋解决的方法：“观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。”

      牟合方盖在通过祖冲之父子所考虑的这个小立方体的横切面。设由小立方体的底至横切面高度为h，三个“外?”的横切面面积的总和为S及小牟合方盖的横切面边长为a，因此根据“勾股定理”有a²=r²-h²另外，因为S=r²-a²所以S=r²-(r²-h²)=h²于所有的h来说，这个结果也是不变的。祖氏父子便由此出发，他们取一个底方每边之长和高都等于r的方锥，倒过来立着，与三个“外棋”的体积的和进行相对比较。设由方锥顶点至方锥截面的高度为h，不难发现对于任何的h，方锥截面面积也必为h²。换句话说，虽然方锥跟三个“外棋”的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积也就不能不是相等的了，所以祖氏云：“缘幂势既同，则积不容异。”所以外棋体积之和=方锥体积=小立方体体积/3=r³/3即小牟合方盖体积= 2r³/3牟合方盖体积=16r³/3因此球体体积=(π/4)(16r³/3)=4πr³/3因此这条公式也就是一个正正式式的球体体积的主要公式。

 

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